Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных

Напомним, что для функций одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функций многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами.

Теорема 1(необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то у нее в точке существуют все частные производные. При этом , и тем самым

,

где = .

Обратная теорема неверна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Пример 1. Рассмотрим функцию

Функция в точке разрывна, поэтому она в точке не может быть дифференцируемой. Так как , и , то существуют и равны нулю и , а это и есть и соответственно.

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция в некоторой окрестности точки имеет все частные производные и эти производные в точке непрерывны, то функция в точке дифференцируема.