Производная по направлению

Пусть открыто, , – некоторый вектор

единичной длины. Тогда найдется такое, что . На множестве

рассмотрим функцию , заданную равенством

Определение 1. Если существует конечный предел , то говорят, что функция имеет в точке производную по направлению . Эта производная обозначается Производная по направлению любого (ненулевого) вектора - это производная по направлению его орта.

Напомним, что координатами орта вектора являются его направляющие косинусы.

Физический смысл производной по направлению: характеризует “скорость изменения” функции в точке вдоль оси, для которой единичный вектор является ортом.

Пусть . Очевидно, .

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет производную по любому направлению . При этом

(1)

Напомним, что координатами орта вектора являются его направляющие косинусы. Поэтому при нахождении производной по направлению вектора в формуле (1) в качестве надо брать направляющие косинусы вектора .