Локальный экстремум

Определение 1. Пусть , . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если найдется такое, что:

1)

2)

Локальный максимум называется строгим, если найдется такое, что

Аналогично определяется понятие локального минимума и строгого локального минимума.

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть точка локального экстремума. Если существует , то .

Определение 2. Точка , внутренняя для множества , называется критической (стационарной) точкой функции , если в ней существуют и равны нулю все частные производные первого порядка.

Каждая точка локального экстремума является критической. Обратное неверно.

Пример 1. Пусть Тогда точка - критическая точка функции , но не точка локального экстремума этой функции.

Достаточное условие локального экстремума.

Определение3. Матрица размера называется положительно определенной, если произведение

Теорема 2 (Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы).

Пусть

Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда

Определение 4. Матрица размера называется отрицательно определенной, если произведение

Очевидно, матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда матрица положительно определена.

Теорема 3 (Критерий отрицательной определенности матрицы).

Матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда

Определение5. Матрица называется неопределенной, если найдутся

такие, что

Теорема 4. Пусть - открытое множество, , . Допустим, что функция в каждой точке множества имеет все частные производные до второго порядка включительно и эти производные непрерывны. Пусть - критическая точка функции . Тогда:

1) если матрица положительно определена, то есть точка строгого локального минимума;

2) если матрица отрицательно определена, то есть точка строгого локального максимума;

3) если матрица является неопределенной, то не является точкой локального экстремума.

Случай .

Рассмотрим функцию двух переменных, для которой - критическая точка. Матрица вторых производных имеет вид

.

Положим

, .

Логически возможны три случая:

Случай 1:

Случай 2:

Случай 3:

В первом случае Если

,

то - точка строгого локального минимума. Если

,

то - точка строгого локального максимума.

Во втором случае дискриминант квадратного трехчлена

положителен. Следовательно, найдутся и такие, что

Значит матрица является неопределенной, и локального экстремума в точке нет.

В третьем случае в точке экстремум может как быть, так и не быть.

Пример 2. Пусть . Тогда Следовательно точка критическая. Очевидно, у функции в точке экстремума нет.

Так как то в точке , и тем самым

Пример 3. Пусть Очевидно, у функции в точке экстремум, Поэтому