Точки перегиба

Определение 1. Пусть . Точка называется точкой перегиба функции , если:

1) непрерывна в точке ;

2) и на каждом из интервалов функция выпукла, причем направления выпуклости различны.

Пример 1. Для функции точка есть точка перегиба, поскольку при и поэтому выпукла вверх на ; при и потому выпукла вниз на .

Теорема 1. Пусть и таковы, что и дифференцируема на интервале . Пусть точка перегиба. Если существует , то необходимо

Теорема 2. Предположим, что функция и точка , в которой функция непрерывна, удовлетворяют условия:

1) и существует ;

2) сохраняет знак левее и правее точки .

Тогда есть точка перегиба функции , если меняет знак при переходе через , и не есть точка перегиба, если не меняет знака при переходе через .

Теорема 3. Пусть . Предположим, что выполнены условия:

1) и

2)

3)

Тогда для точка есть точка перегиба функции . Для значений точка не является точкой перегиба.