![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция задана неявно уравнением
и принимает в точке
значение
При некоторых условиях на функцию
(они будут обсуждаться во втором семестре) функция
будет дифференцируема. Ее производную
можно найти, продифференцировав уравнение и разрешая полученное уравнение относительно
.
Пример 1. Найти производную неявно заданной функции .
Решение. Продифференцировав обе части равенства, получаем
Тогда
Таким образом, (ответ зависит от того, какое значение функция
принимает в точке
).
4) Теоремы о функциях, имеющих производную.
Теоремы настоящего параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное, согласно определению, понятие производной оказывается эффективным орудием исследования свойств функции на отрезке.
Теорема 1 (Ферма). Пусть принимает в точке
наибольшее (наименьшее) значение и дифференцируема в точке
. Тогда
.
![]() |
Теорема 2 (Ролля о нуле производной). Пусть f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале
, и
. Тогда
такая, что
.
![]() |
Теорема 3. Если функция f (х) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале
, то найдется точка
такая, что
. (1)
Формула (1) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Геометрический смысл теоремы: через точки
,
проведем секущую. На интервале
найдется точка x такая, что касательная в точке
параллельна секущей. Точку
можно записать в виде
при некотором
.
Следствие 1. Пусть дифференцируема на
и
. Тогда
на
.
Следствие 2. Пусть дифференцируемы на
и
. Тогда
.
Следствие 3. Пусть дифференцируема на
и
постоянна на
:
. Тогда для некоторого
.
Теорема 4. Если каждая из двух функций и
непрерывна на отрезке
, дифференцируема на интервале
, и если
для
, то найдется точка
такая, что
(2)
Формула (2) называется обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.
5) Исследование монотонности функции с помощью производных.
Теорема 1. Пусть . Предположим, что
Тогда
неубывающая на
Теорема 2. Пусть определена и дифференцируема на
. Для того, чтобы
возрастала на
, необходимо и достаточно, чтобы выполнились условия:
1)
2) не существует интервала
Пример 1. Согласно Теореме 2 функция возрастает на
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 359 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!