Производные старших порядков

Предположим, что функция дифференцируема на интервале , т.е. " x Î(a, b) .Определим на интервале функцию g равенством: g (x)= .

Определение 1. Если в точке существует производная функции g, то эта производная называется производной второго порядка функции в точке и обозначается одним из символов:

Если производная порядка n определена (ее обозначение или ), и для любого существует , то производная в точке порядка (n +1) определяется как если последняя существует.

Пример 1. Пусть . Тогда для и

В частности,

Пример 2. Для и

Пример 3. Пусть aÎ . Для и

В частности, для и ,  

" x Î .

Пример 4. Для и 

Пример 5. Для и 

Далее полагаем

Теорема 1. Предположим, что функции f и g имеют на (a, b) производные порядка n. Тогда:

1)

2) ;

3)

4) (Формула Лейбница).