Примеры вычисления производных

1) .

, поэтому у¢ =0.

2) у=х^п, где п – натуральное число.

n =1: у ¢= х ¢=1, т.к. .

п =2: у = х × х;

у ¢=(х)¢× х +(х)¢× х =2 х.

=3: у =(х ²)× х;

у ¢=(х ²)¢× х +(х)¢× х ² =2 х ² +х ²=3 х ².

Во всех рассмотренных случаях (х^п)¢= пх^п-1. Для произвольного натурального п также (х^п)¢= пх^п-1.

3) .

Действительно,

.

4) .

Действительно,

.

5) .

6) .

7) .

Действительно,

.

В частности, .

8) .

Действительно,

.

В частности, .

9) .

Действительно, пусть . Тогда , , . По теореме о производной обратной функции

.

Таким образом,

.

Традиционно аргумент функции обозначается через х. Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем

.

10) .

Действительно, пусть . Тогда , , . По теореме о производной обратной функции

.

Таким образом,

.

Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем

.

11) .

Действительно, пусть . Тогда , , . По теореме о производной обратной функции

.

Таким образом,

.

Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем

.

12) .

Действительно, пусть . Тогда , , . По теореме о производной обратной функции

.

Таким образом,

.

Переходя к традиционному обозначению аргумента, получаем

.

13) Пусть натуральное число принадлежит области определения функции . Тогда .

Действительно, пусть принадлежит области определения функции . Тогда . По теореме о производной обратной функции . Таким образом, для из области определения функции имеем

,

или, переходя к традиционному обозначению аргумента,

.

В частности

,

.

14) (a – произвольное вещественное число, х >0).

Действительно, согласно определению степенной функции с произвольным вещественным показателем, . Применяя теорему о производной сложной функции, получаем

.

15) Производные гиперболических функций находятся по формулам:

так как .