Геометрический и физический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала функции ясен из рисунка, на котором изображены график функции и касательная к графику функции в точке дифференциал равен приращению линейной функции, графиком которой является касательная .

Если время, а – координата точки на прямой в момент , то дифференциал равен тому изменению координаты, которое бы она получила за время , если бы скорость точки на отрезке была постоянной и равной . Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что, вообще говоря, Однако на малых промежутках времени изменение скорости незначительно и .

8) Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть аргумент дифференцируемой в точке функции является не независимой переменной, а функцией некоторого независимого переменного , причем , и дифференцируема в точке . Тогда дифференциал функции по прежнему имеет вид но только теперь является не произвольным приращением аргумента (как в случае, когда – независимое переменное), а дифференциалом функции в точке , т.е. Это свойство (сохранение формулы и в том случае, когда ) называется инвариантностью формы первого дифференциала.