Системы линейных алгебраических уравнений

Определение 1. Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

(1)

Здесь () называются неизвестными системы; числа коэффициентами при неизвестных, или коэффициентами системы; числа свободными членами. Определение 2. Решением системы (1) называется совокупность чисел которые при подстановке в систему вместо , соответственно, все уравнения системы обращают в тождества.

Определение 3. Система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 4. Совместная система называется определенной, если у нее только одно решение, и неопределенной в противном случае.

Определение5. Две системы называются равносильными, если у них одно и тоже множество решений.

Определение 6. Матрица

A= ,

составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы.

Введем еще две матрицы-столбца: - столбец неизвестных; -столбец свободных членов. Тогда, используя правило умножения матриц, систему

(1) можно записать в матричной форме:

(2)

Определение 7. Система уравнений (1) называется крамеровской, если число

уравнений равно числу неизвестных. Матрица крамеровской системы квадратная, столбцы и - одной размерности. Определитель матрицы системы называется в этом случае определителем системы. Предположим, что Тогда матрица имеет обратную. Следовательно, решение системы запишется в виде

Тем самым оно единственно.

Пример 1. Найдем решение системы уравнений

матричным способом. Запишем систему в матричном виде

Здесь

Вычислим определитель системы, используя его свойства:

Обратная матрица

поэтому

.

14 ) Формулы Крамера.

Рассмотрим крамеровскую систему и предположим, что определитель системы не равен нулю. Положим

Здесь через обозначено алгебраическое дополнение элемента матрицы

Нетрудно видеть, что есть определитель, который получается из определителя матрицы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Теорема1. Если определитель крамеровской системы отличен от нуля, то система определена, и ее решение может быть найдено по формулам

Пример1. Найдем решение системы уравнений

по формулам Крамера. Имеем

Поэтому

15) Теорема Кронекера –Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений).

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений общего вида.

(1)

Наряду с матрицей системы

A=

рассмотрим так называемую расширенную матрицу

,

которая получается добавлением к матрице столбца свободных членов .

Теорема 1(Кронекера-Капелли). Для того чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы = .