Векторы

Основы векторного исчисления были построены в середине 19 века ирландским математиком и астрономом Гамильтоном (1805-1865) и немецким математиком Грассманом (1809-1877), которые независимо друг от друга пришли к открытию векторных операций. В векторном исчислении векторы рассматриваются как особого рода алгебраические величины, над которыми производятся алгебраические операции. Изучение этих операций и составляет предмет векторной алгебры.

Определение 1. Скаляр- это любое действительное число.

Определение 2. Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какой конец отрезка является началом, а какой конец отрезка – концом вектора. В соответствии с этим считается, что вектор направлен от своего начала к своему концу.

Для обозначения вектора, у которого точка А – начало, а точка В – конец, используется символ . Могут обозначаться векторы и малыми буквами или а.

Определение3. Параллельным переносом вектора называется такое его преобразование, при котором вектор занимает положение , так что четырехугольник есть параллелограмм.

Приложить вектор к точке О – это значит произвести такой параллельный перенос этого вектора, чтобы его начало попало в точку О.

Определение 4. Два вектора а и b называются сонаправленными (или одинаково направленными), если при приложении к одной точке они лежат на одной прямой, а их концы находятся по одну сторону от точки приложения. Обозначают сонаправленность знаком .

Очевидно, если то

Определение 5. Векторы а и b называются противоположно направленными, если при приложении к одной точке они лежат на одной прямой, а их концы находятся по разные стороны от точки приложения. Обозначают противоположную направленность знаком .

Очевидно, если то

Определение 6. Векторы называются коллинеарными, если они одинакого или противоположно направлены. Обозначают коллинеарность векторов знаком ||.

Очевидно, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых.

Определение 7. Вектор а называется параллельным прямой l (), если при приложении к какой-либо точке прямой l вектор а целиком лежит на l.

Определение 8. Векторы называются компланарными, если при приложении к одной точке они лежат в одной плоскости.

Определение 9. Вектор а компланарен плоскости p (), если при приложении к какой-либо точке плоскости p вектор а лежит на плоскости p.

Напомним, что длина отрезка есть положительное число, получаемое измерением этого отрезка с помощью некоторого заранее выбранного отрезка-единицы масштаба; отношение длин отрезков не зависит от выбора масштаба, и если векторы при выборе одной единицы масштаба имеют одинаковую длину, то и при выборе другой единицы масштаба они также будут иметь одинаковую длину.

Определение 10. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего тот вектор.

Определение 11. Два вектора называются равными, если у них равны длины и совпадают направления.

Таким образом, векторы будут равны, если при приложении к одной точке они совпадут.

В векторной алгебре приходится рассматривать также и нулевой вектор

Определение 12. Нулевым вектором 0 называется точка.

Направление нулевого вектора не определено, его длина равна 0. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору и компланарным любой плоскости. Часто нулевой вектор рассматривают как направленный отрезок, у которого начало и конец совпадают.

Определение 13. Ортом данного ненулевого вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет длину, равную единице.

Определение 14. Углом между двумя ненулевыми векторами называется меньшая часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленными одинаково с данными векторами.Ясно, что радианная мера угла между двумя векторами всегда заключена между и