Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Определение 1. Пусть даны векторы . Вектор вида , где скаляры, называется линейной комбинацией векторов .

Определение 2. Векторы называются линейно независимыми, если

.

В противном случае векторы называются линейно зависимыми.

Теорема 1(Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов).

1) Система векторов линейно зависима один из этих векторов есть линейная комбинация остальных.

2) Если среди векторов есть нулевой, то они составляют линейно зависимую систему.

3) Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

4) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Теорема 2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 4. Любые четыре вектора линейно зависимы.