Приклад 10

Вектор перпендикулярний до векторів і . Довести, що перпендикулярний до будь-якої лінійної комбінації цих векторів.

Розв’язання: Оскільки і , то і . Нехай . Тоді за властивостями 2 і 3

Отже, .

Приклад 11.

Довести, що в будь-якому трикутнику має місце співвідношення:

c²=a²+b²-2abcosC, де a,b,c – довжини сторін трикутника (теорема косинусів). Рис.8

Розв’язання: Розглянемо трикутник ABC (рис. 8). Позначимо , , . Тоді .

Доведено.

З’ясуємо геометричну суть координат векторів в ортонормованому базисі.

Нехай вектор - ненульовий вектор заданий в ортонормованому базисі , , координатами = (а₁,а₂,а₃). Запишемо його розклад по базису: . Помноживши обидві частини рівності скалярно на вектори , , і враховуючи, що , а , маємо , , . Позначивши: , , , отримаємо ; ; . Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на координатні вісі.

Числа , , називають направляючими косинусами вектора в базисі , , .

Так як і , то .

Отже, сума квадратів направляючих косинусів довільного не нульового вектора дорівнює одиниці.

Відмітимо, що координати одиничного вектора в ортонормованому базисі рівні його направляючим косинусам.