Наслідок 10

Косинус кута α між ненульовими векторами =(а₁,а₂,а₃) і =(b₁,b₂,b₃), заданими в ортонормованому базисі, визначається формулою:

Властивості скалярного добутку:

1. · = · (комутативність).

2. (α )· = α ( · ) (скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку).

3. (дистрибутивність).

Доведення.

1. Властивість випливає з означення скалярного добутку.

2. Нехай в ортонормованому базисі вектори і мають координати =(а₁,а₂,а₃) і =(b₁,b₂,b₃). Тоді за наслідком 8 вектор і за теоремою 8

3. Нехай в ортонормованому базисі вектори , і мають координати =(а₁,а₂,а₃), =(b₁ b₂,b₃), =(c₁,c₂,c₃). За наслідком 6 вектор + = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) і ( + ) · = (a₁+b₁)c₁+(a₂+b₂)c₂+(a₃+b₃)c₃ =

= (a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃)+(b₁c₁+b₂c₂+b₃c₃) = · + · .