Интеграл по множеству. Допустимые множества

называется допустимым, если оно ограничено и его граница имеет -мерную лебегову меру ноль ().

Пр.: Куб, сфера и пр.

Лемма.

:

1. замкнуто в

2.

3.

4.

Замечание:

Для бесконечного числа множеств это не верно.

Следствия:

1. Граница допустимого множества – компакт.
2. Объединение, пересечение и разность конечного числа допустимых множеств - допустимое множество.
3. из его покрытия системой открытых множеств можно выделить конечное покрытие, такое что:

Опр.: Говорят, что множество имеет жорданову меру ноль (), если:

Замечание:

Для границы множества жорданова мера ноль эквивалентна лебеговой.

Опр.: Характеристической функцией множества называется функция:

Замечание:

-допустимо почти всюду непрерывна (т.к. )

Интеграл по множеству.

Опр.:

Опр.:

Мерой Жордана допустимого множества называется интеграл по этому множеству от единичной функции:

Утв.: существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то равны.

Док-во:

Функция отлична от нуля только внутри ( - носитель функции ) множество точек разрыва принадлежит отличаются нулевыми слагаемыми.

Th.: Критерий Лебега интегрируемости функции по множеству.

Геометрический смысл меры Жордана

- допустимое множество,

Нижняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, целиком принадлежащих множеству .

Верхняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, имеющих с множеством общие точки.

Опр.:

1. Если существует предел нижних сумм Дарбу, то он называется внутренней мерой Жордана.
2. Если существует предел верхних сумм Дарбу, то он называется внешней мерой Жордана.
3. Если внешняя и внутренняя меры Жордана совпадают, то множество называется измеримым по Жордану.

Утв.:

- измеримо по Жордану