Замена переменных в кратном интеграле. Формула Грина

Опр.:

- гладкие функции

- параметризованная кривая

Если - замкнутая кривая (контур), то:

- прохождение контура против часовой стрелки (положительная ориентация)

- прохождение контура по часовой стрелке (отрицательная ориентация)

Опр.: .

Опр.:

Область называется элементарной, если:

Лемма: Формула Грина.

Если: - элементарная область

- кусочно гладкая, ,

То:

Док-во:

Замечание:

В силу аддитивности формула Грина справедлива и для областей, которые можно разбить на конечное число элементарных.

Замена переменных (двумерный случай).

Утв.:

Если:

- диффеоморфизм,

,

,

- элементарная область

- положительно ориентированная граница ,

То:

Док-во:

По нашим предположениям оба интеграла существуют как интегралы от непрерывных функций по измеримым множествам.

Следствие:

Если якобиан положительный (отрицательный), то отображение сохраняет (меняет) ориентацию контура.