Спрощення рівняння лінії за допомогою паралельного перенесення системи координат

Дослідимо, як перетворюється рівняння лінії другого порядку, заданої рівнянням

, (1)

при паралельному перенесенні системи координат.

Нехай прямокутна декартова система координат одержана паралельним перенесенням системи у новий початок – точку .

Розглянемо довільну точку площини, яка у початковій системі має координати , а в іншій прямокутній системі – координати . У лекції 6 ми отримали рівності

, (2)

які визначають зв'язок між координатами точки у двох різних системах координат, одна із яких одержана паралельним перенесенням іншої.

Підставляючи одержані співвідношення у рівняння (1), отримуємо

,

або

. (3)

Аналізуючи рівняння (3), зробимо наступні висновки:

1) при паралельному перенесенні системи координат у новий початок коефіцієнти біля старших членів не змінюються;

2) вільний член у перетвореному рівнянні рівний ;

3) якщо лінія, задана рівнянням (1), – центральна і точка є її центром, то у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля та будуть рівні нулю.

Останнє твердження випливає з того, що для центра лінії вирази та перетворюються в нуль.

Приклад 1. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Знайдемо центр лінії. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Оскільки , то початок нової системи координат потрібно вибрати у точці . Формули, за допомогою яких спрощується рівняння лінії, матимуть вигляд

.

Обчисливши та скориставшись розглянутими вище властивостями, дістаємо перетворене рівняння у вигляді або . Побудова графіка одержаної залежності легко реалізується у системі координат (рис. 1). При цьому доцільно використати точки перетину лінії з осями початкової системи координат. На рисунку - це точки та .