Найпростіші властивості еліпса та його зображення

Як було встановлено вище, канонічне рівняння еліпса записується у вигляді

, (1)

де 2 а – сума відстаней від довільної точки еліпса до фокусів та , .

Розглянемо деякі властивості еліпса.

Насамперед, аналізуючи рівняння (1), зробимо висновок, що для його розв’язків виконуються умови , тобто , . Одержані нерівності означають, що всі точки еліпса розташовані всередині прямокутника із сторонами та .

Якщо точка , то , і . Тому еліпс симетричний відносно координатних осей та початку координат.

При із рівняння (1) одержуємо . При дістаємо . Отже, еліпс перетинає вісь у точках та , а вісь – у точках , . Ці чотири точки називають вершинами еліпса. Відрізки та називають відповідно великою та малою осями еліпса. Точку їх перетину О називають центром еліпса. Відрізки та називають відповідно великою та малою півосями еліпса.

Враховуючи симетричність еліпса, дослідимо його форму за допомогою виразу , який визначає рівняння еліпса у першій чверті. Оскільки

,

та обидва вирази при від’ємні, то у першій чверті графік еліпса при зростанні від 0 до а спадає від точки до точки , залишаючись опуклим вверх.

Зображення еліпса наведено на рисунку 1.

Розглянемо лінію , задану параметричними рівняннями

, , . (2)

Оскільки

,

то ці рівняння теж задають еліпс. Їх називають параметричними рівняннями еліпса. Покажемо, як за допомогою рівнянь (2) будувати точки еліпса. Побудуємо два кола з центром в точці , радіуси яких та ( і через точку проведемо деякий промінь, який утворює з додатнім напрямком осі кут (рис. 2). Нехай цей промінь перетинає велике та мале кола в точках , відповідно. Через точку проведемо пряму, паралельну до осі , а через точку – пряму, паралельну до осі . Точка їх перетину належить еліпсу, оскільки , .