Дотична до лінії другого порядку

Нехай на площині задано деяку лінію та – довільна точка на ній. Січна () при русі точки по буде змінювати своє положення.

Граничне положення січної , коли точка , рухаючись по , необмежено наближається до точки , називають дотичною до лінії у точці (на рис. 7 – пряма ), а точку називають точкою дотику.

Із курсу математичного аналізу відомо, що якщо лінія задана рівнянням , а функція диференційовна в точці , то рівняння дотичної до лінії в точці запишеться у вигляді

. (4)

Рис. 8

Складемо рівняння дотичної до еліпса : у деякій точці (рис. 8). Нехай та . Тоді рівняння еліпса можна задати співвідношенням . Скориставшись рівністю (4), запишемо рівняння дотичної у вигляді або . Оскільки , то виконується рівність . Тому після нескладних перетворень одержане рівняння дотичної можна записати у вигляді

. (5)

Аналогічне співвідношення отримуємо при , коли рівняння еліпса запишеться у виді . У випадку, коли (тоді не існує і скористатися попередніми міркуваннями не можна), рівняння дотичних запишуться у виді , що є частинним випадком співвідношення (5).

Доведення останнього твердження здійснюється аналогічно, якщо рівняння еліпса записати у виді . Отже, в усіх випадках рівняння (5) є рівнянням дотичної до еліпса, проведеної у точці .

Рівняння дотичної до гіперболи : у точці записується у вигляді

. (6)

Доведення аналогічне до попереднього.

Розглянемо параболу , задану рівнянням , або та точку . Скориставшись рівнянням дотичної у виді

,

дістаємо . Оскільки , то рівняння дотичної отримуємо у вигляді

. (7)

Отже, співвідношення (7) є рівнянням дотичної до параболи у заданій на ній точці .

Покажемо простий шлях побудови дотичної до параболи, якщо задане зображення параболи та точка дотику. Нехай дотична до параболи, рівняння якої , перетинає вісь у точці . Тоді , звідки

.

Це означає, що для побудови дотичної досить провести пряму через точку дотику та точку на осі .