Означення параболи та її канонічне рівняння

Розглянемо на площині деяку пряму d та точку F, розташовану на деякій відстані p від даної прямої. Знайдемо геометричне місце точок площини, відстані від кожної із яких до даної прямої d та точки F рівні.

Означення 3. Множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної прямої d та даної точки F, називається параболою.

Точку F називають фокусом параболи, а пряму d – директрисою.

Для виведення рівняння параболи введемо прямокутну декартову систему координат, провівши вісь Ох через точку F перпендикулярно до прямої d та вибравши за початок координат середину відрізка, який сполучає точку F із прямою d (рис. 2). Тоді координати фокуса будуть , а рівняння прямої d запишеться у вигляді .

Нехай точка – одна із точок параболи. Оскільки відстань від точки М до прямої d буде

і

та, згідно з означенням параболи, , то

= .

Піднісши до квадрату обидві частини рівності та спростивши вираз, дістаємо

. (12)

Таким чином показано, що координати кожної точки параболи задовольняють рівняння (12).

З рівності

.

випливає, що кожен розв’язок (x; y) рівняння (12) задає точку на параболі. Отже, рівняння (12) є рівнянням параболи.

Як і у випадках еліпса та гіперболи відрізок MF називають фокальним радіусом точки М. Число p називають фокальним параметром параболи, а рівняння (12) – її канонічним рівнянням. Очевидно, що парабола – лінія другого порядку.