Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Розглянемо на площині дві точки та , відстань між якими позначимо 2 с та поставимо задачу відшукання геометричного місця всіх точок, сума відстаней від кожної з яких до точок та є сталою, яка дорівнює деякому числу 2 а. Будемо вважати, що , оскільки при шукана множина точок буде порожньою, а при утворить відрізок .
Означення 1. Множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою величиною, що більша від довжини відрізка , називається еліпсом.
Точки та називаються фокусам и еліпса. Щоб скласти рівняння еліпса, введемо прямокутну декартову систему координат , вибравши за точку середину відрізка та спрямувавши вісь вздовж прямої (рис.1). Фокуси еліпса відносно введеної системи координат матимуть координати F 1(c;0), F 2(- c;0). Нехай M (x; y) – одна із точок шуканого геометричного місця . Тоді, згідно з означенням еліпса,
. (2)
Скориставшись формулою відстані між двома точками, дістаємо
Для спрощення одержаного співвідношення, запишемо його у вигляді
,
звідки
,
або
(3)
Підносячи до квадрату обидві частини одержаної рівності, отримуємо
(4)
або
. (5)
Оскільки a > c, то вираз додатний. Тому, ввівши заміну = та розділивши рівність (5) на , дістаємо
(6)
Отже, координати кожної точки на еліпсі задовольняють рівняння (6). Покажемо, що кожен розв’язок рівняння (6) задає точку на еліпсі. Нехай – розв’язок рівняння (6) та М (x; y) – відповідна точка. Тоді пара чисел (x; y) задовольняє рівняння (5) та (4). Запишемо рівняння (4) у вигляді , звідки випливає, що
.
Очевидно, що для розв’язків рівняння (6) повинна виконуватись умова (якщо , то і рівність (6) неможлива). Оскільки , то , тому вираз – додатний. Таким чином,
. (7)
Міркуючи аналогічно, дістаємо
. (8)
Тому , тобто точка М належить еліпсу. Таким чином, доведено, що рівняння (6) є рівнянням еліпса. Його називають канонічним рівнянням еліпса.
Рівняння є рівнянням другого степеня, тому еліпс – це лінія другого порядку. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М. Співвідношення (7), (8) дозволяють обчислювати довжини фокальних радіусів, знаючи тільки абсцису точки, яка належить еліпсу.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 4582 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!