Приклади. Наведемо приклади деяких задач, відшукання розв’язків яких пов’язане із використанням розглянутого теоретичного матеріалу

Наведемо приклади деяких задач, відшукання розв’язків яких пов’язане із використанням розглянутого теоретичного матеріалу.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок (рис. 5). Тоді відстань від неї до осі буде дорівнювати , а відстань від неї до центра заданого кола (точки ) дорівнюватиме . Оскільки радіус заданого кола дорівнює 2, а змінного кола , то

= +2.

Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі , дістаємо , звідки , або . Із одержаного рівняння робимо висновок, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь. Парабола .

Задача 2. Дослідити множину точок площини, відношення відстаней від кожної з яких до заданої точки та точки дорівнює 2.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок. Тоді відстань від неї до точки буде дорівнювати , а відстань від неї до точки дорівнюватиме . Оскільки за умовою задачі , то

=2 ,

звідки після очевидних перетворень дістаємо рівняння , або

.

Відповідь. Шукана множина точок утворює коло з центром у точці , радіус якого 4.

Задача 3. Встановити, як розташовані в просторі дві сфери, задані рівняннями

та .

Розв’язання. Перетворимо перше рівняння до виду . Це дозволяє встановити, що центр першої сфери знаходиться у точці , а її радіус дорівнює . Оскільки центр другої сфери знаходиться у точці , а її радіус , то відстань між центрами сфер , що більше, ніж сума радіусів . Отже, сфери не перетинаються, не дотикаються та розташовані одна зовні другої.