Поняття порядку поверхні

Нехай у просторі задана деяка поверхня , а також задане рівняння . Домовимось називати його рівнянням поверхні , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на поверхні, а також координати кожної точки на поверхні задовольняють дане рівняння.

Означення 2. Поверхню будемо називати алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(5)

де – деякі числові коефіцієнти, показники степенів – натуральні числа або нулі.

Сума називається степенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком поверхні.

Аналогічно, як і у випадку лінії, можна довести, що порядок поверхні не залежить від вибору афінної системи координат, тобто є її інваріантом. У курсі аналітичної геометрії вивчаються поверхні першого та другого порядків.

Одною із найпростіших поверхонь другого порядку є сфера. Складемо рівняння сфери з центром у точці , радіус якої дорівнює (рис. 4).

Нехай точка належить поверхні. Оскільки , то, використавши формулу відстані між двома точками, дістаємо

, (6)

звідки

. (7)

Навпаки, нехай – один із розв’язків рівняння (7) та – відповідна точка. Тоді цей розв’язок буде також розв’язком рівняння (6), тобто . Таким чином, точка лежить на сфері. Рівняння (7) називають рівнянням сфери. Очевидно, що сфера – це алгебраїчна поверхня другого порядку.