Поняття мішаного добутку трьох векторів. Властивості. Застосування до розв’язування задач

Розглянемо три довільні вектори та з векторного простору та введемо означення ще одної операції над векторами – так званий мішаний добуток.

Означення 5.Мішаним добутком векторів та називається скалярний добуток вектора на вектор, який є векторним добутком векторів та .

Позначатимемо мішаний добуток векторів та символом . Отже, згідно з означенням, . Зауважимо, що мішаний добуток векторів та є число. Дослідимо властивості введеної нами нової операції. Для цього спочатку знайдемо співвідношення, яке виражає мішаний добуток через координати векторів.

Нехай відомо, що , , . Тоді, оскільки

,

то

.

Одержаний результат зручно записувати у вигляді визначника . Отже,

(9)

Циклічною перестановкою (перестановкою по колу) скінченої впорядкованої множини елементів називають перестановку, коли кожний елемент займає місце наступного, а останній – першого, або навпаки: кожний елемент займає місце попереднього, а перший – останнього.

Властивість 1. Циклічна перестановка не змінює величини мішаного добутку, тобто виконуються рівності .

Властивість 2. , де – довільне число.

Властивість 3. + .

Доведення перерахованих властивостей випливає із властивостей визначників. Зокрема, у першому випадку доводиться двічі міняти місцями рядки визначника, що не змінює його величини. У другому випадку із одного з рядків перед знак визначника виноситься сталий множник , на який множиться кожна координата вектора. У третьому випадку перший рядок визначника є сумою двох рядків, що дозволяє записати цей визначник у вигляді суми двох визначників, у кожному з яких ці рядки записані окремо.

Зауважимо, що з рівності випливає, що мішаним добутком векторів та можна назвати також скалярний добуток векторного добутку перших двох векторів та на третій вектор .

Властивість 4. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та , дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів.

Доведення. Згідно з означеннями мішаного та скалярного добутків дістаємо

, де - кут між векторами та (рис. 7).

Оскільки число виражає площу паралелограма, побудованого на векторах та , а добуток дорівнює висоті паралелепіпеда , якщо кут гострий та , якщо – тупий, то об’єм паралелепіпеда .

Наслідок 1. Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їхній мішаний добуток рівний нулю.

Справді, якщо три вектори компланарні, то об’єм , отже, . Навпаки, якщо , то , тому і вектор , будучи перпендикулярним до вектора , буде паралельним до площини векторів та , тобто дані три вектори компланарні.

Наслідок 2. Три вектори , , лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли виконується умова .

Зауважимо, що наслідок 2 можна використовувати у тих випадках, коли потрібно довести, що вектори та утворюють базис простору . Для цього достатньо показати, що виконується умова .

Наслідок 3. Нехай вершини трикутної піраміди розташовані у точках. . Тоді її об’єм можна обчислити за формулою

.

Доведення цього твердження випливає з того, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та , як на ребрах, дорівнює

,

а об’єм піраміди становить від нього частину (рис. 8).

Наведемо приклади розв’язання окремих задач.

Задача 8. Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , якщо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та , дорівнює 5.

Розв’язання. Використавши властивості 2, 3 та 4, дістаємо

.

Тому

.

Зауважимо, що в процесі обчислень були опущені деякі доданки, оскільки вони являють собою мішані добутки компланарних векторів і рівні нулю.

Відповідь. 5.

Задача 9. Вивести формулу для обчислення висоти трикутної піраміди, побудованої на векторах та . Вважається, що висота проведена з вершини, яка є спільним початком заданих векторів.

Розв’язання. З шкільного курсу геометрії відомо, що , де – об’єм піраміди, а – площа її основи. З попереднього . Для обчислення площі основи візьмемо два вектори, які напрямлені по сторонах трикутника, що лежить в основі. Нехай це будуть і . Скориставшись векторним добутком, дістаємо

.

Підставляючи одержані значення та у формулу для обчислення висоти, дістаємо шуканий результат.

Відповідь. .

Задача 10. По двох мимобіжних прямих ковзають два відрізки сталої довжини. Як змінюється об’єм трикутної піраміди, яка утворюється після сполучення кінців відрізка?

Розв’язання. Нехай заданими відрізками є відрізки та , які після переміщення переходять у рівні відрізки та . Введемо векторні позначення: , . Тоді об’єм піраміди буде , а об’єм піраміди – .

Оскільки (тут та – деякі числові коефіцієнти), то

.

Отже, об’єм піраміди не змінюється.