Зв'язок між координатами точки в різних системах координат на площині

Розглянемо на площині дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом , а друга – точкою та базисом . Нехай деяка точка в першій системі має координати та , а у другій – та . Знайдемо зв'язок між числами та . При цьому будемо вважати, що точка в першій системі має координати , а також відомі розклади векторів через базис :

.

Коефіцієнти біля базисних векторів утворюють матрицю , яку називають матрицею переходу від базису до базису . Зауважимо, що дана матриця не вироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю. Справді, якщо , то виконувалася б рівність , звідки випливає пропорційність координат векторів та . А це суперечить тому, що вектори та лінійно незалежні. Із векторної рівності (рис. 1) дістаємо

,

звідки після прирівнювання коефіцієнтів біля базисних векторів випливає, що

(1)

Одержані співвідношення виражають зв'язок між координатами точки у різних системах координат.

При із формул (1) дістаємо

Це так звані формули паралельного перенесення. За цими співвідношеннями змінюються координати точки при переміщенні системи координат, яке не змінює напрямку координатних осей (рис. 2).

Розглянемо випадок прямокутної декартової системи координат. Вважатимемо також, що точки та співпадають. Позначимо кут між векторами та через . Тоді, очевидно,

.

Тому формули (1) набувають вигляду

Отримані співвідношення показують, як змінюються координати точки при повороті прямокутної декартової системи навколо початку координат на кут (рис. 3). Їх називають формулами повороту.

Зауважимо, що у цьому випадку матриця переходу від базису до базису матиме вигляд , а її визначник

.

Очевидно також, що, оскільки базисні вектори одиничні та взаємно перпендикулярні, то 1 та . Тому елементи матриці задовольняють умови

.

Матриці, елементи яких задовольняють дані рівності, називають ортогональними.