Теорема Чеви

Розглянемо довільний трикутник та візьмемо на його сторонах та точки відповідно. Нехай .

Вірне наступне твердження.

Теорема (теорема Чеви). Відрізки та перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Введемо в розгляд афінну систему координат, вибравши за початок координат точку А та базис (рис. 4). У цій системі точки матимуть наступні координати:

, , .

Нехай відрізки та перетинаються у точці . Тоді із колінеарності векторів та , а також векторів та дістаємо систему , звідки . Якщо відрізок проходить через точку , то із колінеарності векторів та , дістаємо , звідки .

Із одержаних співвідношень також випливає, що якщо , то вектори та колінеарні, тобто, що відрізок проходить через точку перетину двох інших відрізків. Теорема доведена.