Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Розглянемо простір векторів та деякий його базис . Довільний вектор можна розкласти за цим базисом, тобто представити у вигляді
. (2)
Насамперед зауважимо, що таке представлення єдине. Справді, припустимо, що розклад вектора можливий із іншими коефіцієнтами, тобто нехай . Віднімаючи від даної рівності рівність (2), дістаємо . Оскільки вектори лінійно незалежні, то одержана рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Тому .
Означення 4. Коефіцієнти біля базисних векторів у рівності (1) називають координатами вектора відносно базису .
Координати вектора записують у вигляді або .
У випадку векторного простору та деякого його базису для довільного вектора його координати визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності . Зауважимо, що таке представлення теж єдине. Записують або .
Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.
Справді, у випадку векторного простору , з рівностей або , випливає , оскільки вектори та лінійно незалежні.
Аналогічні міркування реалізуються у випадку простору .
Розглянемо, як виконувати лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами. Нехай задані два вектори та . Тоді
,
тобто
.
Аналогічно доводяться рівності
та
,
де – довільний числовий множник.
Так само, як і в просторі , у просторі додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів.
Теорема 7. Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.
Доведення. Нехай задані два колінеарні вектори та . Тоді вони лінійно залежні та існує число таке, що виконується рівність . Вона рівносильна координатним рівностям , , . Якщо , , , то із попередніх рівностей випливає, що , тобто координати векторів пропорційні. Якщо деякі з координат одного із векторів рівні нулю, то відповідні координати у другого колінеарного до нього вектора теж дорівнюють нулю.
Навпаки, якщо виконуються рівності , то, прирівнявши дані відношення до , дістаємо , , . Звідси випливає рівність , яка означає колінеарність векторів та .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!