Координати вектора. Дії над векторами у координатній формі

Розглянемо простір векторів та деякий його базис . Довільний вектор можна розкласти за цим базисом, тобто представити у вигляді

. (2)

Насамперед зауважимо, що таке представлення єдине. Справді, припустимо, що розклад вектора можливий із іншими коефіцієнтами, тобто нехай . Віднімаючи від даної рівності рівність (2), дістаємо . Оскільки вектори лінійно незалежні, то одержана рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Тому .

Означення 4. Коефіцієнти біля базисних векторів у рівності (1) називають координатами вектора відносно базису .

Координати вектора записують у вигляді або .

У випадку векторного простору та деякого його базису для довільного вектора його координати визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності . Зауважимо, що таке представлення теж єдине. Записують або .

Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.

Справді, у випадку векторного простору , з рівностей або , випливає , оскільки вектори та лінійно незалежні.

Аналогічні міркування реалізуються у випадку простору .

Розглянемо, як виконувати лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами. Нехай задані два вектори та . Тоді

,

тобто

.

Аналогічно доводяться рівності

та

,

де – довільний числовий множник.

Так само, як і в просторі , у просторі додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів.

Теорема 7. Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.

Доведення. Нехай задані два колінеарні вектори та . Тоді вони лінійно залежні та існує число таке, що виконується рівність . Вона рівносильна координатним рівностям , , . Якщо , , , то із попередніх рівностей випливає, що , тобто координати векторів пропорційні. Якщо деякі з координат одного із векторів рівні нулю, то відповідні координати у другого колінеарного до нього вектора теж дорівнюють нулю.

Навпаки, якщо виконуються рівності , то, прирівнявши дані відношення до , дістаємо , , . Звідси випливає рівність , яка означає колінеарність векторів та .