Поняття лінійної залежності та незалежності векторів. Основні теореми

Нехай задані вектори та дійсні числа . Користуючись операціями множення векторів на ці числа та відшукання їхніх сум, можна отримувати ряд інших векторів.

Означення 1. Вектор називається лінійною комбінацією векторів .

У цьому випадку говорять також, що вектор лінійно виражається через вектори .

Означення 2. Якщо рівність

(1)

можлива при деяких ненульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно залежними. Якщо ж дана рівність виконується тільки при нульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно незалежними.

Розглянемо деякі твердження, які дають можливість встановлювати без використання означення, лінійно залежні, чи ні деякі вектори.

Теорема 1. Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один із них є лінійною комбінацією інших.

Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді у рівності можна підібрати коефіцієнти так, щоб хоч один із них був відмінний від нуля. Нехай . Тоді

,

тобто вектор є лінійною комбінацією векторів .

Навпаки, нехай один із векторів є лінійною комбінацією інших. Наприклад,

.

Тоді у рівності

коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому, згідно з означенням, вектори лінійно залежні.

Користуючись даною теоремою, можна, наприклад, стверджувати, що вектори , для яких виконується рівність , лінійно залежні. В той же час, якщо два вектори не колінеарні, то вектор напрямлений по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та , буде дорівнювати тільки тоді, коли . У цьому випадку вектори та лінійно незалежні.

Теорема 2. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Доведення випливає з рівності (1), в якій достатньо поставити біля нульового вектора відмінний від нуля коефіцієнт, а всі інші коефіцієнти взяти рівними нулю.

Теорема 3. Якщо деяка система векторів містить лінійно залежну підсистему, то ці вектори лінійно залежні.

Для доведення достатньо для підсистеми лінійно залежних векторів виписати рівність (1) з деякими ненульовими коефіцієнтами та доповнити її доданками, одержаними із решти векторів, які взяті з нульовими коефіцієнтами.

Теорема 4. Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення. Нехай вектори та лінійно залежні та . Оскільки при , а при , то та колінеарні.

Навпаки, нехай дані вектори колінеарні. Розглянемо вектор , де знак «+» вибираємо, якщо та знак «–» – у випадку, коли . Очевидно, що . Крім цього, при дістаємо , тобто . Якщо , то , отже, . В обох випадках вектори та однаково напрямлені і, оскільки їхні довжини рівні, то . Отже, , або , де . Таким чином, згідно із теоремою 1, вектори та лінійно залежні. Теорема доведена.

Теорема 5. Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Виразимо один із них через інші. Нехай . Позначимо . Точки лежать в одній площині. Цій площині належить також точка , для якої

.

Отже, вектори компланарні.

Навпаки, нехай вектори компланарні. Вважатимемо, що серед них немає нульових та колінеарних векторів, оскільки у цьому тривіальному випадку вони будуть лінійно залежними (теореми 2 та 3). Від довільної точки площини, яка паралельна до даних векторів, відкладемо вектори та проведемо через точку пряму, паралельну до (рис. 1). Нехай дана пряма перетинає пряму в точці . Тоді . Вектори та колінеарні, тому , де – деяке число. Аналогічно, , тому . Згідно з теоремою 1 вектори будуть лінійно залежними. Теорема доведена.

Теорема 6. Будь-які чотири геометричні вектори лінійно залежні.

Доведення. Візьмемо довільні чотири вектори . Розглянемо випадок, коли три з них, зокрема вектори не компланарні. Якщо ці три вектори компланарні, то вони будуть лінійно залежними (теорема 5), тому і всі чотири вектори є лінійно залежними (теорема 3). Відкладемо дані вектори від спільної точки . Нехай . Проведемо через точку пряму, паралельну до прямої та нехай вона пряма перетне площину у деякій точці (рис. 2). Тоді . Існують числа та такі, що (теорема 5), (теорема 4). Тому . Згідно з теоремою 1 вектори лінійно залежні. Теорема доведена.