Приклади розв’язання задач. Задача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді

Задача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Нехай точка є точкою перетину медіан та (рис. 10). Тоді

,

де – діагональ паралелограма . Оскільки точка – середина відрізків та , то . За відомою властивістю медіан трикутника , тому . Отже, .

Навпаки, нехай виконується рівність , тобто . Тоді , де – середина відрізка . З рівності випливає, що точки та лежать на одній прямій, а також, що – медіана трикутника . Оскільки , то точка є точкою перетину медіан.

Задача 2. У п’ятикутнику ABCDE точки K, L, M, N – середини відповідно сторін AB, BC, CD та DE, а точки R і S – середини відрізків KM та LN. Довести, що та (рис. 11).

Доведення. Введемо позначення:

.

Тоді

.

Знайдемо вектор .

Рис. 11

.

Оскільки

та

,

то

.

Із одержаної векторної рівності випливає, що та .

Задача 3. В опуклому чотирикутнику точки та – відповідно середини сторін і . Довести, що якщо , то .

Доведення. Очевидно, що

та

.

Додавши одержані рівності, дістаємо , звідки . Але за умовою . Рівність можлива тільки тоді, коли вектори та однаково напрямлені, тобто, коли відрізки та паралельні. Отже, .

Задача 4. Що можна сказати про два ненульові вектори та , для яких виконується одна із рівностей:

1) ,

2) ,

3) ?

Розв’язання. Розглянемо різні випадки.

1). Вектори та співпадають із діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та . Оскільки, згідно із умовою задачі, довжини цих діагоналей рівні, то паралелограм є прямокутником. Отже, вектори та перпендикулярні.

2), 3). Із нерівності трикутника випливає, що вектори та колінеарні. Рівність 2) можлива тільки у випадку, коли дані вектори однаково напрямлені. Рівність 3) виконується при умові, коли вектори напрямлені протилежно, причому довжина вектора більша або дорівнює довжині вектора .