Додавання та віднімання векторів. Властивості цих операцій

Введемо означення лінійних операцій над векторами. Під лінійними операціями над векторами розуміють дії додавання та віднімання векторів, а також множення їх на довільне дійсне число.

Означення 6. Сумою векторів та називають вектор, проведений з початку вектора до кінця вектора при умові, що кінець вектора співпадає з початком вектора (рис. 4).

Суму векторів та позначають символом . Для довільних трьох точок та , згідно із означенням суми векторів, виконується рівність .

Означений таким чином спосіб додавання векторів називають “правилом трикутника”.

Якщо вектори та відкласти із спільного початку і на одержаних відрізках, як на сторонах, побудувати паралелограм, то вектор, який співпадає з діагоналлю та має початок у точці, яка є спільним початком даних векторів, буде їхньою сумою (рис. 5). Такий спосіб знаходження суми векторів називається “правилом паралелограма” Очевидно, що додавання векторів за “правилом трикутника” та “правилом паралелограма” дають у підсумку один і той же вектор.

Якщо послідовно додавати вектори …, , то у результаті отримаємо вектор . В математиці такі суми записують за допомогою символу (велика грецька буква сигма). Зокрема, попередню рівність можна записати у вигляді . Якщо , то це означає, що точки та співпадають, тобто многокутник замкнутий.

Очевидно, що для довільного трикутника виконується рівність . Навпаки, якщо дано три вектори та , серед яких є хоча б два не колінеарних, то із них можна утворити трикутник тільки у випадках, коли виконується рівність , або коли один із векторів є сумою двох інших.

Виходячи із нерівності трикутника, можна стверджувати, що для довільних двох векторів виконується нерівність . При цьому знак рівності виконується тільки у випадку однаково напрямлених векторів.

Зупинимося на деяких властивостях операції додавання векторів. Зокрема, при додаванні можна користуватися рівностями:

1) (комутативність додавання або переставна властивість);

2) (асоціативність додавання або сполучна властивість);

3) ;

4) .

Доведення властивості 1) випливає із рисунка 5.

Для доведення властивості 2) покладемо . Тоді

, , , ,

тобто .

Доведення властивостей 3) та 4) очевидне.

Означення 7. Різницею векторів та називають вектор , який є розв’язком рівняння .

Такий розв’язок завжди існує та єдиний. Справді, розглянемо вектор . Підставляючи його у рівняння та використовуючи властивості 2), 4) і 3), встановлюємо, що він є розв’язком рівняння.

Для доведення єдиності припустимо, що існує деякий інший вектор , який є розв’язком рівняння. Тоді виконуються рівності та . Додавши до обох частин останньої рівності вектор , отримуємо .

Різницю векторів та записують у вигляді . Таким чином, запис , згідно з означенням різниці векторів, означає, що виконується рівність . Звідси випливає спосіб побудови вектора , який є різницею векторів та , а саме:

Вектори та відкладають із спільного початку, а потім, сполучивши кінці векторів , та вибравши напрям шуканого вектора від кінця до кінця вектора , одержують вектор (рис. 6).

Очевидно, що різницю векторів та можна одержати, додаючи вектори та (рис. 7), тобто для різниці векторів виконується рівність .