Базис системи векторів

Розглянемо деяку множину векторів та деяку її підмножину .

Означення 3. Упорядковану множину векторів називають базисом множини , якщо дані вектори лінійно незалежні, а також будь-який вектор множини лінійно виражається через вектори множини .

Розглянемо окремі приклади.

У ролі множини візьмемо вектори, що паралельні деякій прямій. Довільний ненульовий вектор цієї множини утворює базис, оскільки будь-який вектор із лінійно виражається через вибраний вектор (теорема 4). Назвемо у цьому випадку множину векторів одновимірнимвекторним простором колінеарних векторів та позначимо .

Нехай – множина векторів, що паралельні деякій площині. Базис цієї множини утворюють два довільні не колінеарні вектори. Справді, дані вектори лінійно незалежні (теорема 4), а будь-який третій вектор даної множини через них виражається (теорема 5). Дану множину векторів назвемо двовимірним векторним простором компланарних векторів та позначатимемо .

Якщо у ролі множини взяти множину всіх геометричних векторів, то базис в ній утворять три довільні не компланарні вектори. Справді, ці вектори лінійно незалежні (теорема 5), а будь-який четвертий вектор через них лінійно виражається (теорема 6). Простір всіх геометричних векторів будемо позначати .