Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рис. 5.2 |
Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара
линейно независимых (неколлинеарных) векторов. Поскольку три вектора на плоскости линейно зависимы, то любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить по базису – представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
,
где числа , – координаты вектора в выбранном базисе (рис. 5.2).
Записи и означают, что вектор имеет в выбранном базисе координаты , .
Рис. 5.3. |
, .
Числа определяются по вектору однозначно; они называются координатами вектора в выбранном базисе. Используется также запись или .
Таким образом, при фиксированном базисе на плоскости (в пространстве) каждый вектор однозначно описывается упорядоченным набором из двух (трех чисел). Все действия с векторами: линейные операции, а также действия, которые будут определены в дальнейшем, выражаются через координаты векторов, то есть сводятся к числовым вычислениям. В этом и состоит смысл введения координат.
Линейные операции в координатах. Если в некотором базисе в пространстве , , то в том же базисе
, , (5.2)
то есть при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число λ каждая координата вектора умножается на это число.
Аналогичное правило, конечно, верно и для векторов на плоскости.
Критерий коллинеарности: Два ненулевых вектора и коллинеарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда они и их координаты пропорциональны:
. (5.3)
Критерий компланарности: Три вектора , и компланарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда определитель
. (5.4)
Ортонормированным базисом называется базис из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Фиксированный ортонормированный базис на плоскости будем обозначать , в пространстве – .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 573 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!