Линейная зависимость и линейная независимость

Векторы в линейном пространстве называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация равная нулю

(5.1)

с коэффициентами , среди которых хотя бы один отличен от нуля, то есть . Если соотношение (5.1) выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов (т.е. выражается через них). Соответственно, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ни один из них не является линейной комбинацией остальных векторов.

Геометрический смысл линейной зависимости двух векторов: Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны – параллельны одной прямой.

Геометрический смысл линейной зависимости трех векторов: Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны – параллельны одной плоскости.

Таким образом, любые три вектора на плоскости линейно зависимы. Уже любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.