Линейные операции над векторами

Пусть и – векторы на плоскости (в пространстве).

A

B

C

D

Рис. 5.1

Суммой векторов и называется вектор , определяемый по «правилу треугольника»: строим так, чтобы , , тогда (рис.5.1).

Если векторы не параллельны, то их сумму можно найти по «правилу параллелограмма»: строим параллелограмм так, чтобы , , тогда – диагональ параллелограмма (рис. 5.1). Это правило удобно для нахождения суммы векторов сил, приложенных в одной точке – равнодействующей силы.

Произведение вектора на число () называется вектор , длина которого равна произведению на , а направление то же, что и у вектора при и противоположное при (при получается нулевой вектор: ).

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Линейные операции имеют следующие основные свойства.

Для любых векторов , , на плоскости (в пространстве) и для любых действительных чисел , :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Свойства 1) – 3) позволяют определить сумму любого числа векторов, не зависящую от порядка суммирования.

Выражение называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Для любых векторов и существует единственный вектор , такой что . Он называется разностью векторов и , обозначается и находится по формуле .