Совместность линейной системы и ранг

Для произвольной линейной системы (3.1) из уравнений с неизвестными, наряду с основной матрицей системы размера , рассмотрим расширенную матрицу размера , полученную добавлением к справа столбца свободных членов. Ясно, что .

Теорема Кронекера-Капелли. Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы совпадают: .

Можно показать, что при решении системы методом Гаусса число уравнений в преобразованной системе (3.5) является рангом матриц и .