Пример 9.2

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Значения коэффициентов уравнения:

Подставив эти значения в инвариант , убедимся, что

,

то есть мы имеем дело с параболой.

Преобразования начнем с поворота осей координат

Тангенс угла поворота определяем из уравнения (9.23):

.

(Последние формулы справедливы для .)

Подставим в уравнение

,

.

Получим:

Перегруппируем члены уравнения:

После упрощений получим:

.

В итоге получено уравнение параболы, ось симметрии которой повернута на угол , а вершина находится в точке

Вопросы для повторения

1. Определения эллипса, гиперболы и параболы.
2. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
3. Общее определение кривых 2-го порядка с использованием понятий директрисы и эксцентри-ситета кривой.
4. Полярные уравнения кривых 2-го порядка.
5. Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при переносе начала декартовой системы координат в центр симметрии кривой.
6. Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при повороте осей координат.
7. Инварианты преобразований координат и их использование при приведении общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А. Позняк Э. Г Аналитическая геометрия: М.: Физматлит, 2001, 2002

2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической

геометрии.-СПб: Мифрил, 2001

3. Бугров Я. С., Никольский С. М Элементы линейной

алгебры и аналитической геометрии, Феникс, 1997

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предисловие - - - - - - - - - - - 3

2. Системы линейных уравнений.

Матрицы и определители - - - - - - - 4

3. Системы координат- - - - - - - - - 23

4. Векторная алгебра- - - - - - - - - - 30

5. Произведения векторов- - - - - - - - 40

6. Прямая линия на плоскости- - - - - - - 48

7. Плоскость в трехмерном пространстве- - - 60

8. Прямая линия в трехмерном пространстве - - 71

9. Основные задачи на прямую и плоскость- - - 76

10. Кривые второго порядка- - - - - - - - 81