Прямая линия в трехмерном пространстве

Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

. (7.1)

Часто удобнее канонический вид уравнения прямой.

Определение 7.1. Любой ненулевой вектор , параллельный данной прямой будем называть направляющим вектором прямой.

Задача 7.1. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

Решение.

Рассмотрим вектор , начало которого совпадает с точкой , а конец − в произвольной точке .

Чтобы точка лежала на прямой , вектор должен быть параллелен вектору . Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует

(7.2)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Приравняв выражение (7.2) параметру , получим параметрические уравнения прямой.

(7.3)

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если принять что, −время, а вектор скорости, то уравнения (7.3) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и получим из уравнения (7.2), приняв, что направляющий вектор

(7.4)

и подставив выражение (7.4) в (7.2):

(7.5)

Чтобы привести к каноническому виду уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно найти направляющий вектор прямой и точку, лежащую на прямой. Длина вектора − произвольная, точка, лежащая на прямой − любая.

Пусть прямая есть линия пересечения плоскостей (7.6)

. (7.6)

Направляющий вектор прямой ортогонален каждому из нармальных векторов плоскостей

и .

Поэтому определим вектор , как векторное произведение нормальных векторов

(7.7)

Компоненты вектора будут иметь вид

(7.8)

Для определения координат точки, лежащей на прямой, добавим в систему уравнений (7.6) уравнение третьей плоскости. Удобно добавить одну из координатных плоскостей или .

Чтобы получающаяся система уравнений второго порядка имела единственное решение, её главный определитель не должен обращаться в нуль. Это накладывает ограничения на выбор координатной плоскости.

Пусть . Пусть в полученной системе уравнений

. (7.9)

главный определитель .

Тогда координаты искомой точки определяются по формулам Крамера

. (7.10)

Искомое каноническое уравнение запишем в следующем виде

(7.11)

Угол между прямыми, а также условия перпенди-кулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между их направляющими векторами .

. (7.12)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (7.13)

Условия параллельности прямых:

(7.14)

(Нуль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в нуль.)

Угол между плоскостью

(7.15)

и прямой

(7.16)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (7.17)

Условие перпендикулярности векторов и

(7.18)

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие парллельности векторов и

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15) должны быть выполнены два условия:

1. условие параллельности прямой и плоскости

(7.20)

2. координаты точки , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(7.21)

Для того, чтобы две прямые (7.22) и (7.23) принадлежали

(7.22)

(7.23)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. (7.24)

Задачи № 983, 985, 991, 1003, 1005, 1007, 1009, 1012, 1018, 1024, 1029, 1030.

Вопросы для повторения

1.Каноническое уравнение прямой в пространстве. Направляющий вектор прямой. Векторное истолкование канонического уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

2.Представление прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, каноническим уравнением.

3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

§8. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве

Задача 8.1.

Найти точку пересечения прямой

(8.1)

И плоскости

(8.2)

Решение.

Приравняем выражение (8.1) к параметру и выразим через него и

(8.3)

(8.4)

Подставим и из (8.4) в уравнение плоскости.

(8.5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение , найденное из (8.5) в уравнения (8.4).

(8.6)

Задача 8.2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую (8.7)

(8.7)

Решение.

Положение искомой плоскости определяют два вектора: направляющий вектор прямой

и вектор

,

точка начала которого принадлежит прямой. Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого −. произвольная точка пространства.

Чтобы эта точка принадлежала искомой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три рассматриваемые вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю. Исходя из этого, запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме:

(8.8)

Частным случаем рассмотренной задачи является задача о плоскости, проходящей через две параллельные прямые. В этом случае точка берется со второй прямой

(8.9)

(8.10)

и ход решения повторяется.

Задача 8.3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

(8.11)

(8.12)

Решение.

Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого −.произвольная точка пространства, а начальная точка взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (8.13)

Задача 8.4.

Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

(8.14)

(8.15)

Решение.

Направляющий вектор искомой прямой вычисляем как векторное произведение направляющих векторов заданных прямых

Так как по условиям задачи перпендикулярен и .

(8.16)

Из условия компланарности векторов , и свободного вектора

,

начальная точка которого взята с первой прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно вектору .

. (8.17)

Аналогично, из условия компланарности векторов , и свободного вектора

,

начальная точка которого взята со второй прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно вектору .

. (8.18)

Линия пересечения этих плоскостей и есть искомый общий перпендикуляр.

Чтобы получить искомый общий перпендикуляр в каноническом виде можно найти точку в которой пересекается вторая прямая с плоскостью (8.17). (Способ нахождения этой точки рассмотрен в задаче 8.1) и записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .

(8.19)

Задача 8.5.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающейся с каждой из скрещивающихся прямых (8.20) и (8.21)

(8.20)

(8.21)

Решение.

Через точку и каждую из прямых можно провести плоскость (задача 8.2). Линия пересечения этих плоскостей и есть искомая прямая.

Задачи № 1039, 1044, 1050, 1052, 1066, 1071, 1072, 1078, 1083.