![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
. (9.16)
Для приведения уравнения (9.16) к каноническому виду нужно, чтобы коэффициенты приняли нулевые значения. Этого можно добиться за счёт переноса начала координат и поворота системы координат.
При переносе начала координат в точку соотношения между старыми и новыми координатами имеют следующий вид:
(9.17)
При повороте осей на угол :
(9.18)
Смысл обозначений и
очевиден из соотношений (9.17) и (9.18).
Подставив (9.17) в уравнение (9.16), получим:
Перегруппируем члены уравнения:
(9.19)
Выберем и
так, чтобы коэффициенты при
и
обратились в нуль. Для этого решим следующую систему уравнений:
(9.20)
Решение системы существует только в случае
,
поэтому начинать следует с вычисления значения .
( для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.)
Последнее обстоятельство заставляет начинать преобразование уравнения параболы с поворота осей координат.
Из выражения (9.19) очевидно, что коэффициенты при старших степенях и
при переносе начала координат не изменяются. Последние шесть членов выражения (9.19) перегруппируем следующим образом:
(9.21)
Содержимое круглых скобок в соответствии с (9.21) обращается в нуль, а три оставшиеся члена выражения позволяют найти новое значение свободного члена преобразованного уравнения кривой.
В итоге, уравнение (9.16) приобретает следующий вид:
(9.22)
Кривая, описываемая этим уравнением симметрична относительно центра, так как выполняется условие
.
Очевидно, что центр симметрии кривой это точка .
Поворот системы координат вокруг центра симметрии кривой позволяет избавиться от перекрестного члена уравнения (9.22).
Подставив в уравнение (9.22) соотношения (9.18) и перегруппировав члены полученного выражения, из условия обращения в нуль коэффициента при перекрестном члене, получим следующее соотношение:
.
Разделив его на получим квадратное уравнение для
:
. (9.23)
Это уравнение имеет два решения: и
, причём
.
Существуют три инварианта для уравнения (9.16), значения которых не изменяются при преобразованиях декартовой системы координат.
(9.24)
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.
Используя инварианты, уравнение (9.22) можно записать так:
(9.25)
Решая примеры, убедимся, что использование инвариантов существенно упрощает приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 601 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!