Однородная система двух линейных уравнений

Рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными,

(1.24)

Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из коэффициентов при неизвестных равны нулю,

, (1.25)

то коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы будут пропорциональны, то есть:

. (1.26)

Следовательно, второе уравнение является следствием первого и его можно отбросить.

Система (1.23) в этом случае имеет бесконечно много решений, так как координаты всех точек, принадлежащих плоскости, описываемой первым уравнением, являются решениями системы.

Рассмотрим теперь случай, когда один из определителей (1.24) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что

. (1.27)

Тогда систему (1.24) можно записать иначе,

. (1.28)

Решение системы представится, в соответствии с формулами (1.10), в таком виде:

(1.29)

Если принять, что , решение системы можно записать в симметричной форме,

(1.30)

Формулы (1.29) представляют уравнение прямой, по которой пересекаются две плоскости системы (1.23). Координаты всех точек этой прямой являются решениями системы (1.23), то есть система имеет бесконечно много решений.