Неоднородная система трех линейных уравнений с определителем, равным нулю

Вернемся к системе уравнений (1.22). Здесь возможны два случая: а) хотя бы один из определителей или отличен от нуля, б) все три определителя и равны нулю.

В случае а) невозможно хотя бы одно из решений (1.23), следовательно, система уравнений (1.22) не имеет решений.

В случае б) если система (1.22) имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений. Докажем это.

Пусть система имеет решение . Тогда справедливы тождества

(1.32)

Вычитая из уравнений системы (1.22) тождества (1.32), получим систему уравнений

(1.33)

эквивалентную системе (1.22). Но система (1.33) является однородной системой трех линейных уравнений относительно неизвестных и с определителем .

Согласно пункту 1.8. система (1.33), а вместе с ней и эквивалентная ей система (1.22), имеет бесконечно много решений.