Метод исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений (метод Гаусса)

Вернемся к рассмотрению системы линейных уравнений (1.22)

(1.22)

Мы можем менять уравнения местами, умножать уравнения на произвольные числа, кроме нуля, а также складывать и вычитать уравнения. Видоизмененная система уравнений, полученная в результате проведения перечисленных преобразований, будет эквивалентна исходной.

Матрица, составленная из коэффициентов системы дополненная столбцом свободных членов , называется расширенной матрицей. Она имеет вид,

(1.35)

Применяя названные выше преобразования, можно привести матрицу (1.35) к треугольной форме. Восстановленная по этой матрице система уравнений будет эквивалентна исходной системе.

Продолжая преобразования матрицы, можно привести её к диагональной форме, в которой останутся отличные от нуля элементы главной диагонали и столбца свободных членов.

Подставив в диагональную матрицу переменные и , получим решение системы.

Рассмотрим на примерах случаи единственного решения, бесконечного множества решений и несовместной системы.