Однородная система трех линейных уравнений

(1.31)

Очевидно, что эта система всегда имеет тривиальное решение (проверяется подстановкой в уравнения). Когда определитель системы тривиальное решение является единственным (в силу формул (1.23)).

Докажем, что при система (1.30) имеет бесконечно много решений.

Если все миноры второго порядка в определителе

(1.32)

Равны нулю, то соответствующие коэффициенты в уравнениях системы (1.31) пропорциональны. Следовательно, второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены, а оставшееся единственное уравнение имеет бесконечно много решений (как отмечалось в предыдущем пункте).

Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один минор второго порядка в определителе (1.32) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что

.

Тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений будет иметь бесконечное множество решений, определяемых формулами (1.30).

Подставим эти решения в третье уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество,

= ,

так как определитель системы равен нулю по условию.

Тем самым доказано, что однородная система уравнений (1.31) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.