Алгебраические дополнения и миноры

Вернемся к вычислению определителя третьего порядка по формуле (1.13),

= (1.16)

Сгруппируем члены правой части выражения (1.16), содер-жащие элементы первой строки определителя, и вынесем эти элементы за скобки.

(1.17)

Выражения в скобках будем называть алгебраическими дополнениями элементов первой строки определителя и обозначать большими буквами с теми же индексами. Выражение (1.17) называется разложением определителя по элементам первой стоки.

Аналогичным образом можно получить разложения определителя по элементам других строк, а так же по элементам столбцов определителя.

Введем теперь понятие минора.

Минором данного элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием сроки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Минор принято обозначать большой буквой с теми же индексами, что и у элемента. Например, в определителе 3-го порядка

элементу соответствует

элементу соответствует

Легко убедиться в том, что алгебраические дополнения и миноры связаны соотношением

(1.18)

Это «правило определения знаков» для определителя 3-го порядка удобно представить следующей матрицей:

(1.19)

Разложение определителя по элементам первой строки теперь можно записать следующим образом:

(1.20)

Аналогичным образом можно вычислить определитель, записывая его разложение по любой строке или столбцу.

Теперь можно сформулировать последнее свойство определи-теля.

Свойство 9. Сумма произведений элементов строки определи-теля на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Докажем последнее утверждение на примере определителя 3-го порядка:

(1.21)

Здесь в первой строке записаны произведения элементов второй строки определителя на алгебраические дополнения элементов первой строки. Это выражение равно определи-телю 3-го порядка, который равен нулю, как содержащий две одинаковые строки.

Утверждения свойства 9 справедливы и для столбцов.

Кроме того, на основе свойства 9 возможно вычисление определителя способом, который называется «разложением определителя по элементам строки или столбца».