Пересечение прямой с плоскостью

Пусть требуется найти пересечение прямой l

(l)

с плоскостью π

A x + B y + C z + D = 0 (π).

Для этого необходимо решить систему уравнений (l) + (π). Проще всего решение этой системы можно получить, если записать уравнения прямой l в параметрическом виде

.

Подставляя эти выражения для x, y и z в уравнение (π) для плоскости, получим линейное уравнение относительно параметра t

.

Если прямая l не параллельна плоскости π, т.е. если Am + Bn + Cp ≠ 0, то из предыдущего выражения находим значение параметра t:

. (3.39)

В результате из параметрических уравнений прямой определяем координаты точки пересечения прямой l с плоскостью π.

Рассмотрим теперь случай, когда Am + Bn + Cp = 0 (l ||π):

1) если G = A x₀ + B y₀ + C z₀ + D ≠ 0, то прямой l параллельна плоскости π и её пересекать не может;

2) если G = A x₀ + B y₀ + C z₀ + D = 0, уравнение (3.39) относительно параметра t (0 ∙ t + 0 = 0) удовлетворяется при любом значении параметра, т.е. любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой l плоскости π.