Перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k₁ x + b₁ (l₁) и у = k₂ x + b₂ (l₂) (см. рис. 3.18). Требуется найти угол φ между прямыми l₁ и l₂.

Решение. Имеем (по теореме о внешнем угле треугольника)или . Если , то .

Но , , поэтому Рис. 3.18.

, (3.46)

откуда легко получить величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.46) берётся по модулю .

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ = 0 и tg φ = 0. Из формулы (3.46) следует k₂ – k₁ = 0, т.е. k₂ = k₁.

· Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁ = k₂.

Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, φ = . Из формулы (3.46) следует

1 + k₁ ∙ k₂ = 0, т.е. k₁ ∙ k₂ = - 1.

· Таким образом, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k₁ ∙ k₂ = - 1.