![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассматриваем функцию - дифференцируемая сколько угодно раз в точке
и некоторой ее окрестности
.
Рядом Тейлора для функции в точке
называется следующий числовой ряд:
, (1)
в котором коэффициенты вычислены через функцию
по следующим формулам:
,
,
.
…
Рядом Маклорена для функции называется частный случай ее ряда Тейлора в точке
=0:
(2)
,
,
.
…
Название для рядов (1) и (2) сохраняются независимо от их сходимости/расходимости и даже в случае, если ряды сходятся не к функции .
Если ряд Тейлора (Маклорена) сходится в некоторой области к функции , то справедливо равенство:
области сходимости ряда Тейлора. (3)
В этом случае это равенство называется разложением функции в ряд Тейлора в точке .
Замечание: так как ряд Тейлора – это есть степенной ряд по степеням , его область сходимости записывается неравенством
, R – радиус сходимости. Так как это неравенство описывает
, то разложение функции
в ее ряд Тейлора справедливо в точке
и некоторой ее окрестности
.
Пример:
Составить разложение функции в ряд Тейлора в точке
. Найти окрестность
, в которой составленный ряд находится.
Решение:
Хотим получить следующее разложение:
,
где .
Разложение должно быть верно по окрестности , т.е. при
.
1. Вычислим коэффициенты Тейлора:
Составляем ряд Тейлора:
2. Зная, что составленный степенной ряд сходится абсолютно при , вычислим R, применяя признак Даламбера к ряду из модулей:
составленный степенной ряд сходится при
и его
.
3. Составленный ряд сходится при , но остается недоказанным, что его сумма
.
Поэтому ответ по задаче остается неполным.
Ответ: сходится абсолютно при
.
Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа:
Можно показать, что:
1. Остаток ряда Тейлора записывается в нескольких конечных формах, наиболее распространенной из этих форм является форма Лагранжа:
, где
- некоторая фиксированная точка между точкой
и точкой х.
2R
2. Достаточным условием для того, чтобы составленный ряд Тейлора сходился именно к той функции, для которой он составлялся, является условие , где
записано в форме Лагранжа.
Пример:
,
, где
- некоторая фиксированная точка слева или справа от
(между х и
).
, так как
при
, т.е. степенная функция с любым основанием при увеличении ее основания растет медленнее, чем факторная ее показателя (будет обосновано позже).
Таким образом, ряд сходится,
- это равенство называется разложением
в ряд Тейлора в точке
(или по степени
).
Замечания к разложениям функций в ряды Тейлора:
1. Необходимым условием для разложения функции в ряд Тейлора является существование и непрерывность в точке и
производных любого порядка, т.е. функция
должна быть непрерывно дифференцируемой бесконечное количество раз в точке
и
.
- такую функцию в точке
в ряд Тейлора разложить нельзя, так как
не
(но в точке
и других точках
- можно)
разложение функции в степенной ряд в точке
это локальная процедура, так как она выполняется только по некоторой окрестности
2. Если в точке
разлагается в степенной ряд, то это разложение является единственным и совпадает с ее разложением в ряд Маклорена.
Доказательство:
Пусть имеет разложение в ряд по степеням
:
,
Это равенство справедливо при всех х из промежутка сходимости, следовательно, справедливо при ,
при
Так как степенные ряды можно почленно дифференцировать, то справедливо равенство:
,
при
.
Аналогично, повторяя дифференцирование разложения в ряд и полагая , получим
Для произвольно взятого разложения функции в степенной ряд доказали, что его коэффициенты неизбежно совпадают с коэффициентами Тейлора
разложение
в степенной ряд единственно и совпадает с разложением Тейлора.
3. Достаточным условием для того, чтобы ряд Тейлора сходился к является условие:
Обоснование этого факта для конкретной функции является, как правило, затруднительным, поэтому в приложениях стараются получить разложение функции в степенной ряд, используя так называемые стандартные разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. При этом и промежуток сходимости и сумма ряда получаются автоматически.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 634 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!