Функциональные ряды. Определение. Понятие равномерной сходимости

Функциональным называется ряд, членами которого являются функции, например одной переменной .

Общий вид:

где

Рассматривать ООФ функции можно на или .

Примеры функциональных рядов:

1) - степенной ряд

2) - пример тригонометрического ряда

3)

4)

Точка сходимости функционального ряда - это такое числовое значение , при котором числовой ряд является сходящимся.

Точка расходимости функционального ряда - это такое числовое значение , при котором числовой ряд является расходящимся.

Область сходимости функционального ряда – это множество всех его точек сходимости.

Область расходимости функционального ряда – это множество всех его точек расходимости.

Пример:

- точка сходимости, так как очевидно сходится.

- точка сходимости, так как - сходится абсолютно.

…

- область сходимости данного ряда

- область расходимости.

Сумма функционального ряда:

Рассмотрим функциональный ряд в области его сходимости:

области сходимости ряда сумма ряда

области сходимости ряда, так что области сходимости.

Пример:

, т.е. функция может быть представлена сходящимся степенным рядом.

Связь суммы функционального ряда с его частичной суммой:

Рассмотрим сходящийся функциональный ряд:

- п- я частичная сумма ряда,

- п- ый частичный остаток

области сходимости

области сходимости

с погрешностью , при этом определить количество членов ряда n придется различным способом для различных х.