Список основных свойств равномерно сходящихся рядов

Если функциональный ряд сходится к функции равномерно при , то

1. Сумма ряда является непрерывной функцией

2. Функциональный ряд можно почленно интегрировать, в результате получается ряд с суммой, равной интегралу от суммы исходного ряда

3. Если ряд сходится равномерно для , то исходный функциональный ряд можно почленно дифференцировать,т.е.

На практике для определения равномерной сходимости рядов применяется достаточный признак Вейерштрасса:

Если для функционального ряда , можно указать знакоположительный числовой сходящийся ряд , такой, что выполняется неравенство , то функциональный ряд на множестве Х сходится равномерно.

При этом числовой ряд называется мажорантой для функционального ряда , а функциональный ряд называется мажорируемым.

Краткая формулировка признака Вейерштрасса:

Если функциональный ряд является мажорируемым на некотором множестве, то он сходится равномерно на этом множестве.

Для мажорируемых рядов есть еще термин правильно сходящиеся ряды.

Пример:

является мажорантой для данных функциональных рядов данные функциональные ряды сходятся равномерно .