Основные свойства числовых рядов

Можно доказать справедливость следующих фактов.

1. О связи сходимости ряда со сходимостью его остатка

Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток; для расходящегося числового ряда расходится и любой его остаток.

Следствие: сходимость числового ряда не нарушается, если отбросить или добавить конечное число его первых членов.

2. Об умножении ряда на число

Сходимость ряда не нарушается, если все его члены умножить на одно и то же число, не равное нулю.

Следствие: общий множитель всех членов ряда можно выносить за знак суммы:

, то есть свойство дистрибутивности умножения относительно сложения остается справедливым и для бесконечных сумм.

3. О сложении числовых рядов

Два сходящихся ряда можно почленно складывать, при этом складываются и суммы этих рядов, т.е. если то

Замечание: если хотя бы один из складываемых рядов является расходящимся, то в результате сложения получится также расходящийся ряд.

4. О перестановке членов числового ряда

Если числовой ряд сходится абсолютно, то его члены можно переставлять произвольным образом, при этом абсолютная сходимость и сумма ряда не изменится.

Для абсолютно сходящихся рядов выполняется обратная операция деления ряда на ряд.

Если числовой ряд сходится условно, то его члены можно представить так, что его сумма станет равной любому наперед задуманному или даже равной .

Следовательно, в условно сходящихся рядах представлять слагаемые нельзя, так как в результате может измениться сумма ряда или даже ряд станет расходящимся.

Например, рассмотрим ряд Лейбница, который условно сходится:

операцию вычитания рядов выполнять нельзя, так как оба ряда расходятся.

На основании этого свойства о перестановке членов числового ряда абсолютную сходимость рядов называют сильной сходимостью, так как она обусловлена именно малостью членов ряда при больших n, а не чередованием их знаков;

При этом условную сходимость нужно назвать слабой и работать с условно сходящимися рядами нужно осторожно.

условная сходимость рядов называется слабой сходимостью (абсолютная сходимость – сильной)

работать с условно сходящимся рядами нужно очень осторожно.

5. О перемножении рядов

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать аналогично конечным суммам: каждый член одного ряда умножается на каждый член другого ряда.

то есть в результате перемножения двух рядов получается двойной ряд.

Например,