Абсолютная и условная сходимости

Для знакопеременных рядов (в частности для знакочередующихся рядов) различают два вида сходимости: абсолютную и условную.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если:

-он сходится сам,

-сходится ряд, состоящий из модулей его членов.

Знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся, если:

-он сходится сам.

-ряд, состоящий из модулей его членов, расходится.

Эти два типа сходимости можно распространять на любые числовые ряды, а не только на знакопеременные, так как для знакоположительных рядов их сходимость очевидно совпадает с абсолютной сходимостью.

Примеры:

Исследуем следующие ряды на абсолютную или условную сходимости:

1)

данный ряд является знакочередующимся; имея в виду набор достаточных признаков для ряда этого типа, целесообразно начать исследование ряда, составленного из модулей членов данного ряда:

- знакоположительный ряд, он сходится по признаку сравнения в непредельной форме, так как и ряд является сходящимся;

Следовательно, по признаку абсолютной сходимости исходный знакочередующийся ряд тоже сходится.

Таким образом, для данного ряда выполнены требования абсолютной сходимости, поэтому ряд сходится абсолютно.

2) - знакочередующийся ряд.

его ряд из модулей расходится по признаку сравнения в непредельной форме, так как

и ряд расходится;

следовательно, признак абсолютной сходимости не дает ответа для исходного знакочередующегося ряда

На основании этого исследования делаем вывод, что для исходного ряда абсолютной сходимости нет, остается проверить условную сходимость, применив признак Лейбница к знакочередующемуся ряду:

исходный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Таким образом, получили, что данный знакочередующийся ряд сходится, но ряд из его модулей расходится. Поэтому этот ряд сходится условно.

3) - знакопеременный ряд;

исследуем сходимость соответствующего ряда из модулей:

этот знакоположительный ряд сходится по признаку сравнения, так как

и ряд сходящийся;

по признаку абсолютной сходимости заключаем, что исходный ряд так же является сходящимся.

На основании определения абсолютной сходимости делаем вывод, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Упражнения для самостоятельной работы

Задача 1

Исследуйте на сходимость следующие знакопеременные ряды, используя достаточный признак абсолютной сходимости:

1) 2) 3) 4)

5)

Задача 2

Исследуйте на сходимость для следующих знакочередующиеся ряды по признаку Лейбница:

1) 2) 3) 4) 5)

Задача 3

Исследуйте тип сходимости (абсолютная или условная) для следующих знакопеременных рядов:

1) 2) 3)

4) 5)

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

Задача 1

1) и 2) – сходятся; 3),4),5) – ответ дать нельзя.

Задача 2

1), 2), 3), 4) – сходятся; 5) – ответ дать нельзя.

Задача 3

1), 2), 3) – сходятся абсолютно; 4),5) – сходятся условно.