Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены являются положительными числами:

(1)

Существует много достаточных признаков, по которым можно исследовать сходимость числовых рядов. Основными из них для знакоположительных рядов являются следующие признаки:

1) признаки сравнения (в непредельной и в предельной формах);

2) признак Даламбера (в предельной форме);

3) радикальный признак Коши;

4) интегральный признак Коши.

1. Признак сравнения в непредельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда: - ряд с неизвестной сходимостью, - ряд с известной сходимостью. Если ряд с известной сходимостью сходится и , то тоже сходится. Если ряд с известной сходимостью расходится и , то также расходится.

Другими словами:

из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

из сходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Предполагаем, что для обоих рядов необходимое условие сходимости выполняется.

Для доказательства первой части признака рассматриваем сходящийся ряд , его сумму его частичные суммы :

, где .

Рассмотрим частичную сумму ряда с неизвестной сходимостью:

Так как , то .

Так как существует и монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов , то последовательность ограничена сверху числом

так как для , то последовательность также ограничена сверху, например, тем же числом .

Последовательность монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов . По теореме Вейерштрасса заключаем, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Но так как существует , то сходится, ч.т.д.

Теперь проведем доказательство второй части:

дано , отсюда следует, что ряд сходиться не может, так как в случае его сходимости из неравенства следовала бы сходимость ряда сходился бы и ряд (по доказанной первой части признака). Поэтому ряд расходится, ч.т.д.

Замечание

Доказанный признак сравнения остается справедливым, если неравенства или выполняется при , начиная с некоторого номера.

1.1. Признак сравнения в предельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда ряд с неизвестной сходимостью, ряд с известной сходимостью. Вычисляется предел . Если А – это число , то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости (оба сходятся или расходятся).

Существование такого предела гарантирует, что бесконечно малые слагаемые и имеют одинаковый порядок малости, с одинаковой скоростью стремятся к нулю, и это обеспечивает одинаковую сходимость обоих рядов.

Для применения признаков сравнения нужно знать ряды, сходимость которых считается известной; к таким рядам с известной сходимостью будем относить следующие ряды:

а) геометрический ряд (q >0),

сходится, если ; расходится, если ;

б) - гармонический ряд (расходится)

в) - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле),

сходится, если параметр ; расходится, если ;

в’) - ряд из обратных квадратов (сходится, так как

является рядом Дирихле с ).

Примеры:

Исследуем сходимость следующих числовых рядов по признаку сравнения:

1) ;

так как при и ряд сходится, потому что является геометрическим рядом с , то данный ряд также сходится;

2) ;

имеем очевидное неравенство при ряд сходится, так как это ряд из обратных квадратов; поэтому данный ряд тоже сходится;

3) ;

этот ряд расходится, так как его члены удовлетворяют неравенству:

при и ряд расходится, потому что является гармоническим (без первого члена);

4) ;

для членов этого ряда затруднительно написать неравенство с членами какого-нибудь ряда с известной сходимостью; но заметив, что члены этого ряда имеют одинаковый порядок малости с величинами , применим признак сравнения в предельной форме с гармоническим рядом :

- число≠0

⇒данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

2 .Признак Даламбера

Для знакоположительного ряда вычисляют предел отношения последующего членов к предыдущему: Если

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по признаку Даламбера:

1) ;

Вычисляем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

так как получилось, что q =0, то ряд из обратных факториалов сходится;

2)

данный ряд расходится;

3)

ответ о сходимости данного ряда по признаку Даламбера дать нельзя.

3 .Радикальный признак Коши

Для знакоположительного ряда вычисляют предел корня n- й степени из общего члена ряда: Если

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по радикальному признаку Коши:

1)

данный ряд сходится;

2)

Так как величина положительная, то вычисляем предел её логарифма:

переставляя теперь знаки lim и ln, получим, что:

ответ сходимости гармонического ряда по радикальному признаку Коши дать нельзя.

4 .Интегральный признак Коши

Для знакоположительного ряда вводится функция такая, что Рассматривается несобственный интеграл от этой функции: ; Если несобственный интеграл: сходится, то сходится и ряд; расходится, то расходится и ряд.

Доказательство признака проводится на основании геометрической трактовки несобственного интеграла I рода и его сходимости/расходимости.

Если где сходится, то площадь F под кривой можно вычислить; если расходится, то вычислить F нельзя.

Используем эту трактовку для , связанной с рядом, для которой при n= 1,2,3…:

Если числовой ряд записать в виде:

то его можно трактовать как площадь неограниченной справа ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основанием равным 1 и высотами, равными .

Если интеграл расходится, то площадь F вычислена быть не может, поэтому не может быть вычислена и площадь бесконечной ступенчатой фигуры, изображенной на левом рисунке, так как она больше площади F; следовательно, ряд также расходится.

Если несобственный интеграл сходится и равен числу F, то ряд удобно трактовать как площадь входящей в F ступенчатой фигуры, отделив для этого первый член ряда (смотри рисунок справа):

, очевидно, что сумма в скобках может быть выражена числом, меньшим чем F; поэтому сумма знакоположительного ряда есть и выражается некоторым числом.

Таким образом получено неравенство , которое и означает сходимость числового ряда.⊲

Примеры:

Исследуем сходимость следующих рядов, применяя интегральный признак Коши:

1) гармонический ряд:

Рассмотрим несобственный интеграл:

несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд;

2) ряд из обратных квадратов:

- непрерывная и монотонно убывающая функция при

несобственный интеграл сходится, следовательно, ряд из обратных квадратов также сходится.

3) - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

Очевидно, что при p <0 члены данного ряда монотонно возрастают, а при p =0 остаются все равными 1, поэтому при , следовательно, ряд Дирихле расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости.

Далее рассматриваем случаи , для них необходимое условие сходимости выполняется (), поэтому ряд может сходиться;

вводим функцию - непрерывную и монотонно убывающую при и рассматриваем от неё несобственный интеграл:

на основании интегрального признака Коши заключаем, что ряд Дирихле сходится при и расходится при .

Для ответа собираем все случаи проведенного исследования:

обобщенный гармонический ряд

При практическом исследовании числовых рядов на сходимость

рекомендуется проводить работу по следующей схеме:

- указать тип ряда ;

- проверить необходимое условие

если условие

- для ряда, который может сходиться, подбирать достаточное условие в соответствии с типом ряда; обычно ответ можно получить по нескольким достаточным признакам;

применять достаточное признаки можно перебором до получения ответа.

Примеры:

1. - знакоположительный ряд;

необходимое условие:

ряд может сходиться.

Покажем, что сходимость данного ряда может быть получена по нескольким достаточным признакам.

Признак Даламбера:

Признак сравнения в непредельной форме:

Ряд сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с , следовательно исходный ряд сходится по признаку сравнения в непредельной форме.

2. - ряд знакоположительный;

необходимый признак сходимости:

ряд может сходиться.

Покажем, что для данного ряда ответ о сходимости можно получить по признаку сравнения в предельной форме или по интегральному признаку Коши, а по признаку Даламбера получить ответ нельзя.

Признак сравнения в предельной форме:

выберем для сравнения гармонический ряд , расходимость которого известна, и вычислим предел отношения членов обоих рядов:

данный ряд так же расходится как и гармонический ряд.

Интегральный признак Коши:

несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд.

Признак Даламбера:

ответ о сходимости исследуемого ряда по признаку Даламбера дать нельзя.

Упражнения для самостоятельной работы

Задача 1

Исследуйте сходимость следующих знакоположительных рядов, используя необходимый и один из достаточных признаков сходимости:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

Задача 1

1)сходится (по признакам сравнения);

2)сходится (по признаку Даламбера);

3)расходится (по признакам сравнения);

4)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);

5)сходится (по признаку Даламбера);

6)сходится (по радикальному признаку Коши);

7)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);

8)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);

9)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);

10)расходится (по интегральному признаку Коши);

11)сходится (по интегральному признаку Коши).